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標題:

F.4 amaths複角問題

發問:

證明下列恆等式 1. sinA-sin3A+sin5A-sin7A/cosA-cos3A+cos5A-cos7A=-cot4A 2. cos(A+B+C)+cos(-A+B+C)+cos(A-B+C)+cos(A+B-C)=4cosA cosB cosC 解三角方程,其中０°＜_X＜_３６０° 3. cos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x=0 在三角形ＡＢＣ中，證明下列恆等式 ４．cosA+cosB+cosC=1+4sin A/2 sin B/2 sin C/2

最佳解答:

1.LHS=(sinA-sin3A+sin5A-sin7A)/(cosA-cos3A+cos5A-cos7A) =[sinA+sin5A-(sin3A+sin7A)/[cosA+cos5A-(cos3A+cos7A)] =[2sin3Acos2A-(2sin5Acos2A)]/[2cos3Acos2A-(2cos5Acos2A)] =[2cos2A(sin3A-sin5A)]/[2cos2Acos3A-cos5A] =(sin3A-sin5A)/(cos3A-cos5A) =[2cos4Asin(-A)]/[-2sin4Asin(-A)] =-cos4A/sin4A =-cot4A =RHS 2.LHS=cos(A+B+C)+cos(-A+B+C)+cos(A-B+C)+cos(A+B-C) =2cos(B+C)cosA+2cosAcos(C-B) =2cosA[cos(B+C)+cos(C-B)] =2cosA[2cosCcosB] =4cosAcosBcosC =RHS 3.cos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x=0 cosx+cos3x+cos2x+cos4x=0 2cos2xcosx+2cos3xcosx=0 2cosx(cos2x+cos3x)=0 ∴cosx=0 or 2cos(5x/2) cos(x/2)=0 ∴cosx=0 or cos(x/2)=0 or cos(5x/2)=0 x=90° or 270° or 180° or 36° or 108° or 252° or 324° 2008-05-27 18:13:06 補充： 4.ABC is a triangle, ∴C=180°-(A+B), sinC=sin(A+B) and cosC=cos(A+B) LHS=cosA+cosB+cosC =2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+1-2sin2(C/2) =2sin{90°-[(A+B)/2]}cos[(A-B)/2]-2sin2(C/2)+1 =2sin{[180-(A+B)]/2}cos[(A-B)/2]-2sin2(C/2)+1 2008-05-27 18:13:21 補充： =2sin(C/2)cos[(A-B)/2]-2sin2(C/2)+1 =2sin(C/2){cos[(A-B)/2]-sin(C/2)}+1 =2sin(C/2){cos[(A-B)/2]-cos[90°-(C/2)]}+1 =2sin(C/2){cos[(A-B)/2]-cos(180°-C)/2}+1 =2sin(C/2){cos[(A-B)/2]-cos(A+B)/2}+1 =1+2sin(C/2)[2sin(A/2)sin(B/2)] =1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) =RHS

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