標題:
f.4 maths 變分法 2題
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發問:
1. z等於兩部分之和。第一部分隨 x 及 y^2 聯變；第二部分隨y正變，且隨x反變。已知當 x = 2及 y=1/2 時，z =1/4 ；當x=y=1時，z=5a)以x及y表示zb) 求當x=1/2 及y=2/3 時，z=?c)求當z=27 及y=3時，x =?2.某數量x為兩部分之和。第一部分為常數k；第二部分隨y正變。此外，x = x1 + x2使x1：x2 =2：3。當x1 = 2/15 時，y = -1 ；當x2 =6/5時，y = 4a)以y表示x。b)求當y=8時 x1 的值 顯示更多 1. z等於兩部分之和。 第一部分隨 x 及 y^2 聯變； 第二部分隨y正變，且隨x反變。 已知當 x = 2及 y=1/2 時，z =1/4 ；當x=y=1時，z=5 a)以x及y表示z b) 求當x=1/2 及y=2/3 時，z=? c)求當z=27 及y=3時，x =? 2.某數量x為兩部分之和。 第一部分為常數k；第二部分隨y正變。 此外，x = x1 + x2 使x1：x2 =2：3。 當x1 = 2/15 時，y = -1 ；當x2 =6/5時，y = 4 a)以y表示x。 b)求當y=8時 x1 的值
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1.(a) z = (k1)xy^2 + (k2)(y / x) k1 和 k2 不等於零 當x = 2, y =1/2 及 z = 1/4 1/4 = (k1)(2)(1/2)^2 + (k2)(1/2) / 2 1/4 = (k1)(1/2) + (k2)(1/4) 1 = 2(k1) + k2 .....[1] 當x = y = 1 及 z = 5 5 = k1 + k2 .....[2] 將 [1] 減去 [2]: 1 - 5 = 2(k1) + k2 - (k1 + k2) -4 = k1 代 k1 = -4 到 [2] 5 = -4 + k2 k2 = 9 z = (-4)xy^2 + (9y / x) 1.(b) 當x = 1/2 及 y = 2/3 z = (-4)(1/2)(2/3)^2 + [9(2/3) / (1/2)] z = (-2)(4/9) + 9(4/3) .................... (2/3) / (1/2) = 4/3, 不是 = 1/3 z = (-8/9) + 12 z = 100 / 9 1.(c) 當z = 27 及 y = 3 27 = (-4) x (3)^2 + [9(3) / x] 27 = (-36)x + (27/x) 3x = (-4x^2) + 3 ..................兩邊同時乘 x / 9 4x^2 + 3x - 3 = 0 用 [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a x = [-(3) ± √(3^2 - 4(4)(-3)] / 2(4) x = [-(3) ± √57] / 8 所以 x = [(-3) + √57] / 8 或者 x = [(-3) - √57] / 8 2.(a) x = k1 + k2 y k1 和 k2 不等於零 另外 x = x1 + x2 及 x1 : x2 = 2 : 3 3(x1) = 2(x2) x = x1 + (3/2)x1 x = (5/2) x1 或者 x = (2/3)x2 + x2 x = (5/3) x2 當 x1 = 2/15 及 y = -1 x = (5/2) (2/15) = 1/3 1/3 = k1 + (-1)k2 1= 3k1 - 3k2 .....[1] 當 x2 = 6/5 及 y = 4 x = (5/3) (6/5) = 2 2 = k1 + 4k2 .....[2] 用 [1] 減去 3 乘以 [2]: 1 - 3(2) = 3k1 - 3k2 - 3(k1 + 4k2) -5 = -15k2 k2 = 1/3 代 k2 = 1/3 入 [1] 1 = 3k1 - 3(1/3) 1 = 3k1 - 1 3k1 = 2 k1 = 2/3 x = (2 / 3) + (y / 3) 2.(b) 當 y = 8 x = (2 / 3) + (8 / 3) x = 10 / 3 因為 x = (5/2) x1 .....[跟據2.(a)] 10/3 = (5/2) x1 x1 = 4 / 3
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