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標題:
排列與組合及概率
https://www.flickr.com/photos/124898006@N08/14438276721 請解答以上問題 謝謝 更新: 謝謝客位衷心的幫忙
最佳解答:
見第一個人答錯(a)，我就黎修正一下啦： (a) 方法一 設共有16個位置（1-16)，分別屬於四組（ABCD） A：01 02 03 04 B：05 06 07 08 C：09 10 11 12 D：13 14 15 16 設小星處於01位置，小彬與小星同組，則小彬必須處於02 03 或04位置，而餘下的位置數為15，因此P（小彬與小星同組）＝3/15 ＝1/5 方法二 設有ABCD四組，而小星與小彬共同處於A組， P（小星與小彬共同處於A組） ＝小星與小彬共同處於A組的組合／所有可能的A組組合 ＝14C2／16C4 ＝1/20 由於共有四組，P（小彬與小星同組）＝1/20 x 4 = 1/5 (b) 由於小星的編號是1，他必定是第一個抽球，黑箱共有7個黃球，假設開始所有人均抽中黃球，第八人必定抽中紅球，即小星需於第一次或第二次抽球中勝出，則 P（小星進入第二回合） ＝P（小星於第一次抽球中勝出）＋P（小星於第一次抽球中勝出） ＝(5/12) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (5/8) = 365/792 (c) 小星與小彬若在第一回合同組，則只能有一人進入第二回合，因此E（小星與小彬在第一回合同組）與E（小星與小彬在第二回合同組）為獨立事件；而小星與小彬若要在第二回合同組，前提為他們第一回合必然不同組，則 P（小星與小彬在任一回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組）＋P（小星與小彬在第二回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組）＋P（小星與小彬在第一回合不同組）xP（小星進入第二回合）xP（小彬進入第二回合） ＝(1/5) + (1 - 1/5) (365/792) (365/792) ＝0.370 （3 sig. fig.) (d)(i) 要計算條件概率，要依從公式 P(A | B)=P(A and B) / P(B) P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組 and 小星進入第二回合）＋P（小星與小彬在第二回合同組） ＝(1/5) (365/792) + (1 - 1/5) (365/792) (365/792) ＝0.262 (3 sig. fig.) P(小星進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組） ＝P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）/P( 小星與小彬在任一回合同組） ＝(0.262) / (0.370) ＝0.709 (3 sig. fig.) (d)(ii) 先計算兩人各自的期望值 小星的期望值 ＝P（小星進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）x ［P（小星於第一次抽球中勝出）x 1 + P（小星於第二次抽球中勝出）x2］ ＝(0.709) [ (5/12) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (5/8) x 2 ] ＝0.358 (3 sig. fig.) 而要計算小彬的期望值，則需知道P(小彬進入第二回合｜小星與小彬在任一回合同組） P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組 and 小彬進入第二回合）＋P（小星與小彬在第二回合同組） ＝(1/5) ［(7/12) (5/11) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (3/8) (5/7)］ + (1 - 1/5) (365/792) (365/792) ＝0.227 (3 sig. fig.) P(小彬進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組） ＝P(小彬進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）/P( 小星與小彬在任一回合同組） ＝(0.227) / (0.370) ＝0.613 (3 sig. fig.) 小彬的期望值 ＝P（小彬進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）x ［P（小彬於第一次抽球中勝出）x 1 + P（小彬於第二次抽球中勝出）x2］ ＝(0.613) [ (7/12) (5/11) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (3/8) (5/7) x 2 ] ＝0.186 (3 sig. fig.) 小彬的期望期x2 ＝0.371... > 0.358 因此小軒的宣稱正確。 呢題有啲難度，希望唔冇計錯 lol
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呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀呀!!!!!!!!!!!!!!!!|||||這條題目比較長, 打字需時, 請等等。 2014-06-17 19:00:57 補充： 19(a) 方法1(例舉所有排列組合): 小星及小彬的分組組合: AA, AB, AC, AD BA, BB. BC, BD CA, CB, CC, CD DA, DB, DC, DD 共有16可能組合 同一組: AA, BB, CC, DD 小星及小彬在第一回合被分配至同一組的概率 = 4/16 = 1/4 方法2: 小星及小彬在第一回合被分配至同一組的概率 = P(AA) + P(BB) + P(CC) + P(DD) = (1/4)(1/4) + (1/4)(1/4) + (1/4)(1/4) + (1/4)(1/4) = 1/4 方法3: 假設小星分到X組(A,B,C,D 其中一個), 小彬也要分到X組, 才符合小星及小彬在第一回合被分配至同一組 因為X組是A,B,C,D 其中一個,即是4組的其中1組 所以, 小星及小彬在第一回合被分配至同一組的概率 =1/4 19(b) 因為抽球次序依照被編配的號碼的順序,而且小星拿"1"號 所以小星在任何一組都一定是第1名抽球 因為黑箱裡有7個黃球和5個紅球, 而抽第1個人抽到紅球就進入第二回合, 球不放回黑箱裡, 還有1組是有4個人 所以小星能夠進入第二回合的情況只有第1局或第2局抽到紅球 小星能夠進入第二回合的概率 = P(第1局抽到紅球) + P(第2局抽到紅球) = (5/12) + [(7/12)(6/11)(5/10)(4/9)](5/8) (5/8 前面的是第1局全部人抽到黃球) = 365/792 = 0.461 19(c) 小星及小彬在其中一個回合同一組的可能有 小星及小彬在第一回合被分配至同一組, 或 小星及小彬在第二回合被分配至同一組 (理論上小星及小彬在第一和第二回合都是被分配至同一組也算是 小星及小彬在其中一個回合同一組, 但這個不可能出現, 因為每組只有一個能入第二回合, 如果他們在第一回合相遇, 就不可能第二回合相遇) 小星及小彬在其中一個回合同一組的概率 = P(第一回合被分配至同一組) + P(第二回合被分配至同一組) = P(第一回合被分配至同一組) + P(第一回合被分配至不同組 和 他們都能入第二回合) = 1/4 + (3/4)(365/792)(365/792) (他們都能入第二回合的概率365/792因為他們在不同的組別也是第一個抽球) = 1026939/2509056 = 342313/836352 = 0.409 19(d)(i) 已知小星與小彬在其中一個回合同一組, 小星能夠進入第二回合的概率 = P(小星能夠進入第二回合 和 小星與小彬在其中一個回合同一組) / P(小星與小彬在其中一個回合同一組) = P(小星能夠進入第二回合 和 小星與小彬在第一或第二回合同一組) / P(小星與小彬在其中一個回合同一組) P( (小星能夠進入第二回合 和 第一回合被分配至同一組) 或 (小星能夠進入第二回合 和 第二回合被分配至同一組) )/ P(小星與小彬在其中一個回合同一組) P( (小星能夠進入第二回合 和 第一回合被分配至同一組) 或 (第一回合被分配至不同組 和 他們都能入第二回合) )/ P(小星與小彬在其中一個回合同一組) = ( (1/4)(365/792) + (3/4)(365/792)(365/792) ) / (1026939/2509056) = (688755/2509056) / (1026939/2509056) = 688755/1026939 = 229585/342313 = 0.671 太多數字了, 剩下的在補充和意見欄 而且每分題涉及大量運算, 希望沒有錯, 如果錯了, 也希望取得那條的做法概念 2014-06-17 19:03:25 補充： 19(d)(i) 已知小星與小彬在其中一個回合同一組, 而印花的數目 = 勝出的第2回合局數 小星得到印花的期望數目 = (1)[ P(在第2回合的第1局勝出) ] + (2)[ P(在第2回合的第2局勝出) ] = (1)(0.671)(5/12)+(2)(0.671)[(7/12)(6/11)(5/10)(4/9)](5/8) = (1)(0.671)(5/12)+(2)(0.671)(365/792 – 5/12 ) = (0.671)( 5/12 + 2(365/792) – 2(5/12) ) = (0.671)( 2(365/792)–5/12 )=0.505 2014-06-17 19:03:43 補充： 已知小星與小彬在其中一個回合同一組, 他們在第一回合相遇並小彬能夠進入第二回合的概率 = ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) / (1026939/2509056) 他們在第二回合相遇並小彬能夠進入第二回合的概率 = (3/4) (365/792)(365/792) ) / (1026939/2509056) 2014-06-17 19:04:46 補充： 小彬得到印花的期望數目 = (1)[ P(在第2回合的第1局勝出) ] + (2)[ P(在第2回合的第2局勝出) ] 2014-06-17 19:05:31 補充： = (1) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) )(5/12) + (3/4) (365/792)(365/792)(7/12)(5/11) ) / 0.671 + (2) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(5/8) + (3/4) (365/792)(365/792) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) / 0.671 2014-06-17 19:07:30 補充： 第5個意見的0.671 應該是 0.409 2014-06-17 19:07:55 補充： = (1) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) )(5/12) + (3/4) (365/792)(365/792)(7/12)(5/11) ) / 0.409 + (2) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(5/8) + (3/4) (365/792)(365/792) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) / 0.409 2014-06-17 19:08:45 補充： = 0.206 小彬得到印花的期望數目 = 0.206 小星得到印花的期望數目 = 0.505 > 小彬得到印花的期望數目 小星得到印花的期望數目小於小彬得到的兩倍 是不正確 2014-06-17 19:10:12 補充： 如果咁多位朋友見到有錯請快點提出並修改一下, 謝謝 2014-06-22 14:13:50 補充： ChanKin Ho, 多謝你修正 part(a), 連帶其他都錯 而part (d)(ii)我理解錯了問題, 幸好有ChanKin Ho的修正, 請選ChanKin Ho為最佳, 謝謝!
排列與組合及概率
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見第一個人答錯(a)，我就黎修正一下啦： (a) 方法一 設共有16個位置（1-16)，分別屬於四組（ABCD） A：01 02 03 04 B：05 06 07 08 C：09 10 11 12 D：13 14 15 16 設小星處於01位置，小彬與小星同組，則小彬必須處於02 03 或04位置，而餘下的位置數為15，因此P（小彬與小星同組）＝3/15 ＝1/5 方法二 設有ABCD四組，而小星與小彬共同處於A組， P（小星與小彬共同處於A組） ＝小星與小彬共同處於A組的組合／所有可能的A組組合 ＝14C2／16C4 ＝1/20 由於共有四組，P（小彬與小星同組）＝1/20 x 4 = 1/5 (b) 由於小星的編號是1，他必定是第一個抽球，黑箱共有7個黃球，假設開始所有人均抽中黃球，第八人必定抽中紅球，即小星需於第一次或第二次抽球中勝出，則 P（小星進入第二回合） ＝P（小星於第一次抽球中勝出）＋P（小星於第一次抽球中勝出） ＝(5/12) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (5/8) = 365/792 (c) 小星與小彬若在第一回合同組，則只能有一人進入第二回合，因此E（小星與小彬在第一回合同組）與E（小星與小彬在第二回合同組）為獨立事件；而小星與小彬若要在第二回合同組，前提為他們第一回合必然不同組，則 P（小星與小彬在任一回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組）＋P（小星與小彬在第二回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組）＋P（小星與小彬在第一回合不同組）xP（小星進入第二回合）xP（小彬進入第二回合） ＝(1/5) + (1 - 1/5) (365/792) (365/792) ＝0.370 （3 sig. fig.) (d)(i) 要計算條件概率，要依從公式 P(A | B)=P(A and B) / P(B) P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組 and 小星進入第二回合）＋P（小星與小彬在第二回合同組） ＝(1/5) (365/792) + (1 - 1/5) (365/792) (365/792) ＝0.262 (3 sig. fig.) P(小星進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組） ＝P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）/P( 小星與小彬在任一回合同組） ＝(0.262) / (0.370) ＝0.709 (3 sig. fig.) (d)(ii) 先計算兩人各自的期望值 小星的期望值 ＝P（小星進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）x ［P（小星於第一次抽球中勝出）x 1 + P（小星於第二次抽球中勝出）x2］ ＝(0.709) [ (5/12) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (5/8) x 2 ] ＝0.358 (3 sig. fig.) 而要計算小彬的期望值，則需知道P(小彬進入第二回合｜小星與小彬在任一回合同組） P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組） ＝P（小星與小彬在第一回合同組 and 小彬進入第二回合）＋P（小星與小彬在第二回合同組） ＝(1/5) ［(7/12) (5/11) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (3/8) (5/7)］ + (1 - 1/5) (365/792) (365/792) ＝0.227 (3 sig. fig.) P(小彬進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組） ＝P(小彬進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）/P( 小星與小彬在任一回合同組） ＝(0.227) / (0.370) ＝0.613 (3 sig. fig.) 小彬的期望值 ＝P（小彬進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）x ［P（小彬於第一次抽球中勝出）x 1 + P（小彬於第二次抽球中勝出）x2］ ＝(0.613) [ (7/12) (5/11) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (3/8) (5/7) x 2 ] ＝0.186 (3 sig. fig.) 小彬的期望期x2 ＝0.371... > 0.358 因此小軒的宣稱正確。 呢題有啲難度，希望唔冇計錯 lol
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